相続と遺言書に関するご質問をいただき、ありがとうございます。

まず最初に、ご質問の内容を整理させていただきます。

１つ目のご質問の趣旨は、「あなたが遺言書によって財産を受け取った後、あなたからその財産を他の相続人に無税で贈与することができるかどうか。」

２つ目のご質問の趣旨は、「遺言書があることを他の相続人に知らせないと、その遺言書は実現されないのかどうか。」

これらについて回答いたします。

【１つ目のご質問についての回答】
結論を申し上げますと、「あなたが兄弟に贈与する額が、年間１１０万円以内であれば贈与税はかからない。年間１１０万円を超える場合には贈与税がかかる。」ということになります。
つまり、どなたかの遺言書により、あなたが財産を受け取った時点でその財産はあなたの財産となりますから、相続や遺言書は関係なく、「あなたが兄弟に贈与する」ということになるのです。
ですから、贈与税のルールが適用されることとなり、上記の結論となります。
もし、あなたがご兄弟に対して贈与を検討されているのであれば、年間１１０万円までは贈与税がかかりませんから、計画的になさった方が良いと思います。

【２つ目のご質問についての回答】
今回、残されていた遺言書が公正証書遺言とのことですから、自筆証書遺言のように家庭裁判所で「検認」という手続きを行う必要がありません。
「検認」の手続きは、家庭裁判所が全ての相続人に「この日に遺言書を確認するから来られる人は集まって」という通知を出します。
そのうえで、集まった相続人の前で遺言書を開封し、その遺言書が確かに存在することを確認します。
自筆証書遺言の場合、この検認手続きを行わなければ効力を持ちませんから、遺言書は実現できないことになります。

一方で、公正証書遺言は「検認」が不要です。
そのままで、財産を動かす効力を持っています。
ただ、その公正証書遺言に遺言施行者（遺言の内容を実現する人）が指定されている場合、その遺言執行者は全ての相続人などに対して、遺言者が亡くなったこと、遺言執行者に就任したことなどを通知するのが通常です。（特に義務というわけではありませんが、大きな財産を動かす以上、通知するが適切ということです。）
ですから、通知しなくても、遺言書の内容を実現することは可能です。

しかしながら、あなたが遺言書が残されていることを知りながら、意図的に破棄、隠匿したとなれば、あなたが「相続欠格者」に該当し、相続人になれない恐れがあります。
「隠匿」とは、人の目に触れないよう隠してしまうことです。
もし、自分の利益のために、遺言書を「隠匿」した場合、民法で規定した〝相続欠格〟に該当するため、相続権が剥奪されることになるのです。
その点には充分にご注意なさってください。